Project Tree

Посмотреть что за компонент используется в VS Code для отображения левой панели с древом файлов и папок проекта.

И, если это возможно, интегрировать его внутрь расширения.

Если этот компонент выдрать не получится, то реализовать собственное решение. Можно попробовать использовать Quasar.Tree (или как-то так)